Sesión 6

¿Qué son las tablas de integrales?

Hola Paco. En la sesión 4 te había recomendado usar un programa de computador para verificar tus resultados.

En este vínculo puedes calcular interactivamente las integrales.

http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/

Otra forma de hallar las primitivas de una función es recurriendo a una tabla de integrales. Existe mucha documentación al respecto, incluso hasta libros, que se puede consultar en la red. Por ejemplo, en http://www.integral-table.com/ se puede obtener una tabla de 111 integrales y en http://integrals.wolfram.com/index.jsp un software en línea para el cálculo de integrales. Para nuestro caso es suficiente con la siguiente tabla:

TABLA DE INTEGRALES

Cada una de estas integrales se obtiene en forma similar a las ya tratadas en las sesiones anteriores. ¿Cuál es la derivada de la función f(x) = sen x?

Paco. Cos x, profe. Ya se para donde va. La integral de cos x entonces será sen x. Es correcto?

Muy bien Paco. Esa es la octava integral de nuestra tabla. En conclusión, la tabla de integrales no es más que el resumen de algunas integrales que hemos evaluado. Esta tabla la podemos seguir aumentando a medida que calculemos otras integrales. Por ello la existencia de tablas de 105, 112 o muchas más integrales.

P. Podemos realizar un ejercicio?

Está bien. Intentemos con este ejemplo (Presiona clic sobre la imagen para que la veas mejor)

P. Ah! Listo, entonces el resultado según la tabla es: sec x + c

Muy bien Paco. Ahora intenta resolver las siguientes integrales:

Sesión 5

Condiciones iníciales y soluciones particulares

P. Hola profe! De veras que me he motivado bastante con este curso. Quise adelantar un poco y me encontré que es posible hallar una sola primitiva si se dan ciertas condiciones

Eso es cierto Paco. Hasta ahora hemos mencionado que la integral indefinida admite muchas soluciones (que difieren en una constante entre sí). Eso significa que las graficas de dos primitivas cualesquiera de f(x) son traslaciones verticales una de otra. (Observa la gráfica de una familia de primitivas en la sesión 1).

En muchas situaciones problema se nos da suficiente información como para determinar una solución particular. Un ejemplo sencillo es cuando conocemos un valor de F(x) para un valor de x. A esta información se le llama condición inicial.

Así, cada una de las primitivas de la forma;

para diversos valores de C, es una solución general de la ecuación

dy/dx = 3x² -1

Sin embargo, solo una de estas primitivas cumple con la condición de pasar por el punto (2,4), es decir F(2) = 4.

P. Ah! F(2) = 4 es una condición inicial. Pero para que me sirve?

Vamos por partes Paco.

Con esta condición inicial podemos hallar una sola primitiva como solución. Esta solución se conoce como “solución particular”. Veamos cómo,

En el ejemplo que estamos analizando tenemos esta información

F(x) = x³ - x + C solución general

F(2) = 4 condición inicial.

Usando la condición inicial en la solución general, determinamos que

F(2) = 8 – 2 + C = 4,

lo cual implica que C = -2. Por tanto, obtenemos

F(x) = x³ – x – 2 He ahí una solución particular

P. Excelente profe! En mi consulta sobre condiciones iníciales observé que éstas son muy aplicadas en problemas de movimiento rectilíneo y de caída libre. ¿Podría explicarme un ejemplo de este tipo?

Claro Paco y gracias por lo de excelente.

P. No me refería a usted sino a lo de las condiciones iníciales

Está bien Paco. Analiza el problema que se presenta en la siguiente escena interactiva de Descartes :

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

(Para una mejor interacción, puedes acceder al applet en esta dirección:

http://gnomon.itm.edu.co/calculo/objeto2/index.html)

Bueno Paco, ahora te toca a ti resolver estos ejercicios

Ejercicios 3

En los siguientes ejercicios hallar y = f(x). Se dan condiciones iníciales

a) f’’(x) = 2, f’(2) = 5, f(2) = 10

b) f’’(x) = x², f’(0) = 6, f(0) = 3

c) f’’(x) = x^-3/2, f’(4) = 2, f(0) = 0

d) f’’(x) = x^-3/2, f’(1) = 2, f(9) = -4

2. El ritmo de crecimiento de una población (dP/dt) de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t el tiempo en días. En forma simbólica dP/dt = k Öt.

El tamaño inicial de la población es 400. Tras un día ha crecido hasta 500. Estimar la población en una semana.

3. Se lanza una bola verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 60 pies/s. ¿Qué altura alcanza? g = -32 pies/s² (Rta. 56,25 pies)

4. Demostrar que la altura alcanzada por un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde una altura de s­₀ pies, con velocidad inicial v₀ pies/s², viene dada por la función (g = -9,8 m/s²)

f(t) = -4,9t² + v₀t + s­₀

5. ¿Con qué velocidad inicial ha de lanzarse un objeto hacia arriba, desde el suelo, para que alcance la azotea de un edificio que tiene una altura de 550 pies? (Rta. 187,617 pies/s)

6. Un jugador del equipo de fútbol del ITM, patea un balón hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Calcular la máxima altura que alcanza el balón (Rta. 20,41 m)

7. Una partícula, inicialmente en reposo, se mueve por el eje x de manera tal que su aceleración en t > 0 es a(t) = cos t. En el instante t = 0 su posición es x = 3.

Calcular su velocidad y su función posición

8. Un globo que asciende con velocidad de 16 pies/s suelta un saco de arena desde una altura de 64 pies sobre el nivel del suelo.

a) ¿Cuántos segundos tardará en chocar con el suelo?

b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?

Rta. a) 2,562 s b) -65,970 pies/s

9. En el momento que el semáforo se pone en verde, un automóvil inicia la marcha con aceleración constante de 2 m/s. En ese mismo momento un camión que lleva velocidad constante de 20 m/s² le adelanta.

a) ¿A qué distancia alcanzará más adelante el automóvil al camión?

b) ¿A qué velocidad irá en ese instante?

Rta: a) 400 m, b) 40 m/s

Sesión 4

Integrando con herramientas informáticas

¿Qué tal paco? ¿Cómo te fue con los ejercicios propuestos?

P. ¡Bien profe! Sólo que para verificar mis resultados con el proceso inverso de derivación, en el caso de algunas funciones, era largo y engorroso. Esto, especialmente en las funciones con radicales.

Si, es cierto. Pero además de practicar tus nuevos conocimientos, también lo hiciste con tus conocimientos previos. Hay otra alternativa que puedes usar Paco.

P. ¿Si? ¿Cuál?

Utilizando algún software o programa de cálculo simbólico. En el mercado existen varias alternativas: Mathemática, Maple, Matlab, Derive, Maxima, entre otros.

P. ¿Cuál es el mejor?

Mathemática, Maxima, Derive y Maple se crearon básicamente para computación simbólica. Matlab, además del cálculo simbólico (utilizando el Kernel de Maple), se puede usar en métodos numéricos y en simulación de sistemas, el Matlab es el programa preferido en asignaturas de automatización y control de procesos industriales, sin embargo es el más costoso.

Existen otras alternativas en el mundo del software libre y que poco a poco van ganando terreno en el campo de las aplicaciones científicas, tres de ellas son: GNU Octave, Scilab yMaxima (te dejo los vínculos para que explores más sobre estos programas). Los tres programas proveen una amplia gama de poderosas funciones. Por otra parte, existen versiones de demostración (trial) como el Derive versión 5, el cual puedes bajar en este vínculo http://www.upv.es/derive/parche

Bueno Paco. Tú eliges la opción que más te convenga. Por ahora vamos a verificar uno de nuestros ejercicios en cuatro de los programas anteriores:

P. Excelente profe. Hagamos uno con radicales.

Lo harás tú. Yo por ahora te explicaré el procedimiento con una integral simple. Simple en el sentido tipográfico. Todas son en realidad muy sencillas de resolver.

P. Comprendo profe. Explíqueme pues

Tomemos la siguiente integral

⌠x²dx

Sabemos que su resultado es x³/3 + c

Integrando con Derive

La integral de una función (definida o indefinida) puede obtenerse en Derive pulsando el icono

Tu famosa culebrita. En el cuadro de diálogo que aparezca debes especificar la variable de integración (normalmente x) y si se trata de una integral indefinida o definida, así como la constante de integración.

Introduce x^2 y luego pulsa de nuevo en la culebrita

Elige Integral indefinida con constante 0 y pulsa Sí para verificar si es lo que buscamos.

Por último, halla la primitiva efectiva. (Click en simplificar con la integral resaltada como muestra la figura)

Integrando con Matlab

Matlab recoge del Maple la capacidad de trabajar con variables simbólicas. Esto le permite resolver integrales indefinidas y definidas de manera analítica. Para crear una variable simbólica usamos la función syms (también se puede utilizar la función sym).

Las ecuaciones simbólicas se pueden integrar utilizando la función int.

int(expresión) realiza la integral indefinida de la expresión con respecto a la variable simbólica que tenga la misma.

Para nuestro ejemplo, observa la figura siguiente

Integrando con Maple

Es similar al Matlab, ya hemos dicho que el Matlab recoge el cálculo simbólico del Maple.

El Maple usa los siguientes comandos: int,Int

El comando int es el comando de integración de Maple. Puede ser usado para obtener valores exactos, o aproximaciones decimales cuando un valor exacto no puede ser computado.

El comando Int sigue la misma sintaxis que int, con la diferencia que con Int, Maple no evalua la integral, solo la despliega. El comando value puede ser usado para obtener el valor de una integral no evaluada.

NOTA: A diferencia del Derive, el cual permite definir la constante de integración, tanto Maple como Matlab no incluyen esta constante arbitraria cuando integra.

Si tienes Maple, ejecuta los siguientes comandos (después del prompt “>”) para resolver nuestro ejercicio

> restart;

> f:= x^2;

f := x²

> Int(f, x);

⌠x²dx

> int(f, x);

1/3 x³

Integrando con Maxima

Este programa lo puedes bajar desde este vínculo

http://maxima.sourceforge.net/old/maxima.html

Maxima es un sistema de cálculo simbólico escrito en Lisp.

Maxima desciende del sistema Macsyma, desarrollado en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) entre los años 1968 y 1982 como parte del proyecto MAC. El MIT pasó una copia del código fuente al DOE (Department of Energy) en 1982, en una versión conocida como DOE-Macsyma. Una de estas copias fue mantenida por el Profesor William F. Schelter de la Universidad de Texas desde el año 1982 hasta su fallecimiento en 2001. En 1998 Schelter había obtenido del Departamento de Energía permiso para distribuir el código fuente de DOE-Macsyma bajo licencia GNU-GPL, iniciando en el año 2000 el proyecto Maxima en SourceForge con el fin de mantener y seguir desarrollando DOE-Macsyma, ahora con el nombre de Maxima. (tomado de la ayuda del programa)

Ahora veamos cómo calcula las integrales

Función: integrate (expr, x)

Función: integrate (expr, x, a, b)

Calcula simbólicamente la integral de expr respecto de x. La llamada integrate (expr, x) resuelve una integral indefinida, mientras que integrate (expr, x, a, b) resuelve una integral definida con límites de integración a y b. Los límites no pueden contener a x. El argumento a no necesita ser menor que b. Si b es igual a a, integrate devuelve cero.

Sin más rodeos observa la figura

P. Gracias profe. Iré a verificar mis ejercicios en algún salón de cómputo de mi Institución. Allí tienen licencias de Matlab

Suerte Paco. Hasta la próxima

Sesión 3

OTRAS REGLAS DE INTEGRACIÓN

Hola Paco. Continuando con nuestro estudio de las integrales, vamos a analizar otras reglas simples de integración, las cuales se desprenden de reglas de la derivación

P. Claro! Al ser un proceso inverso de la diferenciación, es obvio que las reglas de integración se puedan deducir de allí. Pero profe, ayer estuve pensando ¿para qué son útiles las integrales?

La pregunta clásica de los estudiantes. El Cálculo Integral tiene muchas aplicaciones en varias áreas del conocimiento. Las usan frecuentemente los ingenieros, los físicos, los matemáticos obviamente, los estadísticos, también tiene aplicaciones en la economía, la administración… Pero para adelantarte un poco te voy a ilustrar una aplicación:

Si recuerdas un poco tu física de bachillerato, la ley de Torricelli decía que la razón de cambio del volumen V de agua en un tanque que se vacía es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad h del agua, es decir:

dV/dt = - kh

Realizando algunas transformaciones a esta ecuación, es posible reescribirla así:

P. Y eso para qué sirve?

Con esta última ecuación, al resolver las integrales, puedes calcular el tiempo de vaciado del tanque.

P. Pero esas integrales son algo diferentes a las que hemos estudiado. Observo que tienen índices y superíndices

No te preocupes Paco. Ese tipo de integrales se conocen como “integrales definidas”, por ello los límites que llamaste índices y superíndices. Con un poco de tiempo llegaremos a ellas.

Bueno, volvamos a nuestro tema. En el cuadro siguiente aparecen otras reglas básicas de integración (has click en la tabla para que la visualices mejor).

A partir de estas reglas y como práctica vas a resolver las siguientes integrales. En algunas de ellas trata de verificar la regla con el proceso inverso, es decir la derivación.

Ejercicios 2

Sesión 2

¿Hay alguna regla para integrar?

Hola Paco, veo que te has motivado con el tema. Efectivamente existen reglas para algunas integraciones sencillas, otra requieren de métodos de integración que veremos más adelante.

Veamos una de las reglas más elementales.

Ya vimos que la integración es un proceso inverso a la diferenciación. ¿Qué haces tú para derivar y = axⁿ?

P. Bueno, muy sencillo. Multiplico n por a y le resto uno al exponente

Esa es una regla para derivar Paco. Si hace lo que dices, entonces para esa función: dy/dx = nax^n-1

El proceso de integración es totalmente inverso. Cuando derivaste actuaste sobre el coeficiente de x y luego sobre su exponente. Para integrar primero actúas sobre el exponente y luego sobre el coeficiente.

P. Ah! ¿Le resto uno al exponente y luego multiplico por el coeficiente?

No, Paco. ¡Concéntrate! Recuerda que todo el proceso es inverso. En lugar de restar, sumas. En lugar de multiplicar, divides. En otras palabras:

P. Ya! Entonces para el ejemplo de la clase pasada, lo haría así:

Es decir (1/5)x⁵ + c. Vaya! Con la regla es más fácil.

Es cierto, pero lo importante es que pudiste sin regla. Para varios ejercicios, la regla es útil. Ahora te tengo una pregunta. ¿Cómo puedes demostrar que dicha regla es válida?

P. Déjeme pensar profe. Humm… claro, derivando!

Excelente Paco. Veamos si es cierta tu afirmación:

Derivemos f(x) = [a/(n+1)]xⁿ⁺¹. Según la regla para derivada que recordaste, entonces: f´(x) = [(n+1)a/(n+1)]x^n+1-1 = axⁿ

P. Lo mismo que la función original, la famosa primitiva y = axⁿ

Así es Paco. Ahora trata de realizar los siguientes ejercicios:

Ejercicios 1. Hallar la familia de primitivas de las siguientes funciones.

P. Ya empezó a complicar la cosa profe ¿qué es eso de familia de primitivas?

Disculpa Paco. Tienes razón. ¿Recuerdas que la integral de una función da como resultado un conjunto de primitivas? Bueno, ese conjunto también se llama familia. Ahora, continuemos con la pequeña lista de ejercicios:

En el siguiente applet diseñado por la profesora Consolación Ruiz Gil (http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Integrales_de_polinomios/index.htm), puedes practicar con muchas integrales de polinomios haciendo clic en el botón de ejercicios. Puedes, además, observar la solución: