Sesión 1

Este primer capítulo lo puedes bajar aquí o si prefieres, lo puedes leer en la siguiente ventana de Scribd:

Notas de cálculo integral - Capitulo 1


Introducción al capítulo (video)

¿Qué es eso de primitivas?

¡Hola Paco! Bienvenido a este nuevo curso. Para responder a tu pregunta es importante que recuerdes algo del curso anterior… el Cálculo Diferencial ¿recuerdas las famosas derivadas?

En ese curso de Cálculo Diferencial a partir de una función y = F(x) hallábamos su función derivada dy/dx = F´(x).

Por ejemplo, dada F(x) = x³, su derivada es F´(x) = 3x²

P. Si lo recuerdo. Usted nos decía que había varias notaciones para la derivada “F prima”, “dy/dy”, ,… Pero aún no entiendo qué es eso de primitivas. En el diccionario dice que es el origen de una cosa…

Exacto

En el análisis matemático es común encontrar problemas en los cuales es necesario hallar la función que dio origen a una función derivada F´(x). Es decir, es necesario realizar el camino inverso a la derivación. Este proceso se conoce como antiderivación o integración y la función F a hallar es una primitiva o antiderivada de la función dada

En el ejemplo anterior, si f(x) = 3x² entonces una primitiva es F(x) = x³
Por que d [x³]/dx = 3x²

P. Ah! Entiendo… la integral es el origen de una función dada que llamamos derivada de ese origen.

Muy bien Paco, ahora podemos escribir nuestra primera definición

Definición 1:

Si f es una función definida en un conjunto D, la función F, definida en el mismo conjunto es una primitiva de f si y sólo si F es derivable en D y f es su derivada.

Es decir:

F es primitiva de f en D ↔ para todo x que pertenezca a D, F’(x) = f(x)

P. Por qué dice “una primitiva”, no es pues “la primitiva”, la función que le dio origen a f(x)

Pensé que no lo ibas a preguntar. Veamos:

Dime Paco cuál es la derivada de las siguientes funciones: y = x³, y = x³ + 5, y = x³ -2, y = x³ + pi

P. Pues… Es curioso, todas me dan 3x²

¿Qué concluyes?

P. Que todas las funciones son primitivas de 3x². Comprendo ahora porque no se debe hablar de “la primitiva”. Pero… ¿Cuál sería, entonces, la antiderivada o integral de 3x²?

Te volviste a perder Paco. ¡No hay una solución! ¡No existe una primitiva! ¡Existen muchas primitivas!

P. Ah! Se volvió a complicar el asunto.

No tanto Paco. Ya has reconocido que las funciones anteriores son soluciones de 3x². ¿Qué notas en común en esas funciones?

P. Todas tienen el término x³… humm… ah! Todas tienen un segundo término que es un número.

Correcto Paco. Ese segundo número es Cualquier número… una Constante. Entonces puedes generalizar la solución así:

La integral de 3x² es igual a x³ + c, donde c es Cualquier número

Esto en otras palabras es: Si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es F(x)+C para cualquier constante C. esto nos lleva a nuestro primer teorema:

Teorema 1. La primitiva más general

Si F´(x) = f(x) en cada punto del intervalo abierto I, entonces cada primitiva G de f en I tiene la forma

G(x)=F(x)+C

donde C es una constante

Ahora Paco terminamos con nuestra primera lección con la siguiente notación para esas primitivas. El conjunto de todas las primitivas de la función f(x) es conocida como la integral indefinida de f con respecto a x, la cual se denota:

P. ¿Podríamos hacer un ejemplo adicional profe?

Claro Paco. Intenta hallar la integral de f(x) = x⁴

P. Bueno… humm… Para que la derivada de x⁴, una función primitiva debe tener el término x⁵ y otro término con Cualquier número

Vas bien Paco. Entonces cuál podría ser una primitiva?

P. Ya tengo una… x⁵ + 10

Deriva esa primitiva que sacaste para verificar que si sea x⁴

P. Bueno. Oh no, la derivada de x⁵ + 10 es 5x⁴… ya se profe, la primitiva deber ser (1/5)x⁵ + c

Correcto Paco, en conclusión: