Sesión 4

Integrando con herramientas informáticas

¿Qué tal paco? ¿Cómo te fue con los ejercicios propuestos?

P. ¡Bien profe! Sólo que para verificar mis resultados con el proceso inverso de derivación, en el caso de algunas funciones, era largo y engorroso. Esto, especialmente en las funciones con radicales.

Si, es cierto. Pero además de practicar tus nuevos conocimientos, también lo hiciste con tus conocimientos previos. Hay otra alternativa que puedes usar Paco.

P. ¿Si? ¿Cuál?

Utilizando algún software o programa de cálculo simbólico. En el mercado existen varias alternativas: Mathemática, Maple, Matlab, Derive, Maxima, entre otros.

P. ¿Cuál es el mejor?

Mathemática, Maxima, Derive y Maple se crearon básicamente para computación simbólica. Matlab, además del cálculo simbólico (utilizando el Kernel de Maple), se puede usar en métodos numéricos y en simulación de sistemas, el Matlab es el programa preferido en asignaturas de automatización y control de procesos industriales, sin embargo es el más costoso.

Existen otras alternativas en el mundo del software libre y que poco a poco van ganando terreno en el campo de las aplicaciones científicas, tres de ellas son: GNU Octave, Scilab yMaxima (te dejo los vínculos para que explores más sobre estos programas). Los tres programas proveen una amplia gama de poderosas funciones. Por otra parte, existen versiones de demostración (trial) como el Derive versión 5, el cual puedes bajar en este vínculo http://www.upv.es/derive/parche

Bueno Paco. Tú eliges la opción que más te convenga. Por ahora vamos a verificar uno de nuestros ejercicios en cuatro de los programas anteriores:

P. Excelente profe. Hagamos uno con radicales.

Lo harás tú. Yo por ahora te explicaré el procedimiento con una integral simple. Simple en el sentido tipográfico. Todas son en realidad muy sencillas de resolver.

P. Comprendo profe. Explíqueme pues

Tomemos la siguiente integral

⌠x²dx

Sabemos que su resultado es x³/3 + c

Integrando con Derive

La integral de una función (definida o indefinida) puede obtenerse en Derive pulsando el icono

Tu famosa culebrita. En el cuadro de diálogo que aparezca debes especificar la variable de integración (normalmente x) y si se trata de una integral indefinida o definida, así como la constante de integración.

Introduce x^2 y luego pulsa de nuevo en la culebrita

Elige Integral indefinida con constante 0 y pulsa Sí para verificar si es lo que buscamos.

Por último, halla la primitiva efectiva. (Click en simplificar con la integral resaltada como muestra la figura)

Integrando con Matlab

Matlab recoge del Maple la capacidad de trabajar con variables simbólicas. Esto le permite resolver integrales indefinidas y definidas de manera analítica. Para crear una variable simbólica usamos la función syms (también se puede utilizar la función sym).

Las ecuaciones simbólicas se pueden integrar utilizando la función int.

int(expresión) realiza la integral indefinida de la expresión con respecto a la variable simbólica que tenga la misma.

Para nuestro ejemplo, observa la figura siguiente

Integrando con Maple

Es similar al Matlab, ya hemos dicho que el Matlab recoge el cálculo simbólico del Maple.

El Maple usa los siguientes comandos: int,Int

El comando int es el comando de integración de Maple. Puede ser usado para obtener valores exactos, o aproximaciones decimales cuando un valor exacto no puede ser computado.

El comando Int sigue la misma sintaxis que int, con la diferencia que con Int, Maple no evalua la integral, solo la despliega. El comando value puede ser usado para obtener el valor de una integral no evaluada.

NOTA: A diferencia del Derive, el cual permite definir la constante de integración, tanto Maple como Matlab no incluyen esta constante arbitraria cuando integra.

Si tienes Maple, ejecuta los siguientes comandos (después del prompt “>”) para resolver nuestro ejercicio

> restart;

> f:= x^2;

f := x²

> Int(f, x);

⌠x²dx

> int(f, x);

1/3 x³

Integrando con Maxima

Este programa lo puedes bajar desde este vínculo

http://maxima.sourceforge.net/old/maxima.html

Maxima es un sistema de cálculo simbólico escrito en Lisp.

Maxima desciende del sistema Macsyma, desarrollado en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) entre los años 1968 y 1982 como parte del proyecto MAC. El MIT pasó una copia del código fuente al DOE (Department of Energy) en 1982, en una versión conocida como DOE-Macsyma. Una de estas copias fue mantenida por el Profesor William F. Schelter de la Universidad de Texas desde el año 1982 hasta su fallecimiento en 2001. En 1998 Schelter había obtenido del Departamento de Energía permiso para distribuir el código fuente de DOE-Macsyma bajo licencia GNU-GPL, iniciando en el año 2000 el proyecto Maxima en SourceForge con el fin de mantener y seguir desarrollando DOE-Macsyma, ahora con el nombre de Maxima. (tomado de la ayuda del programa)

Ahora veamos cómo calcula las integrales

Función: integrate (expr, x)

Función: integrate (expr, x, a, b)

Calcula simbólicamente la integral de expr respecto de x. La llamada integrate (expr, x) resuelve una integral indefinida, mientras que integrate (expr, x, a, b) resuelve una integral definida con límites de integración a y b. Los límites no pueden contener a x. El argumento a no necesita ser menor que b. Si b es igual a a, integrate devuelve cero.

Sin más rodeos observa la figura

P. Gracias profe. Iré a verificar mis ejercicios en algún salón de cómputo de mi Institución. Allí tienen licencias de Matlab

Suerte Paco. Hasta la próxima