Sesión 2

¿Hay alguna regla para integrar?

Hola Paco, veo que te has motivado con el tema. Efectivamente existen reglas para algunas integraciones sencillas, otra requieren de métodos de integración que veremos más adelante.

Veamos una de las reglas más elementales.

Ya vimos que la integración es un proceso inverso a la diferenciación. ¿Qué haces tú para derivar y = axⁿ?

P. Bueno, muy sencillo. Multiplico n por a y le resto uno al exponente

Esa es una regla para derivar Paco. Si hace lo que dices, entonces para esa función: dy/dx = nax^n-1

El proceso de integración es totalmente inverso. Cuando derivaste actuaste sobre el coeficiente de x y luego sobre su exponente. Para integrar primero actúas sobre el exponente y luego sobre el coeficiente.

P. Ah! ¿Le resto uno al exponente y luego multiplico por el coeficiente?

No, Paco. ¡Concéntrate! Recuerda que todo el proceso es inverso. En lugar de restar, sumas. En lugar de multiplicar, divides. En otras palabras:

P. Ya! Entonces para el ejemplo de la clase pasada, lo haría así:

Es decir (1/5)x⁵ + c. Vaya! Con la regla es más fácil.

Es cierto, pero lo importante es que pudiste sin regla. Para varios ejercicios, la regla es útil. Ahora te tengo una pregunta. ¿Cómo puedes demostrar que dicha regla es válida?

P. Déjeme pensar profe. Humm… claro, derivando!

Excelente Paco. Veamos si es cierta tu afirmación:

Derivemos f(x) = [a/(n+1)]xⁿ⁺¹. Según la regla para derivada que recordaste, entonces: f´(x) = [(n+1)a/(n+1)]x^n+1-1 = axⁿ

P. Lo mismo que la función original, la famosa primitiva y = axⁿ

Así es Paco. Ahora trata de realizar los siguientes ejercicios:

Ejercicios 1. Hallar la familia de primitivas de las siguientes funciones.

P. Ya empezó a complicar la cosa profe ¿qué es eso de familia de primitivas?

Disculpa Paco. Tienes razón. ¿Recuerdas que la integral de una función da como resultado un conjunto de primitivas? Bueno, ese conjunto también se llama familia. Ahora, continuemos con la pequeña lista de ejercicios:

En el siguiente applet diseñado por la profesora Consolación Ruiz Gil (http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Integrales_de_polinomios/index.htm), puedes practicar con muchas integrales de polinomios haciendo clic en el botón de ejercicios. Puedes, además, observar la solución: