Sesión 5

Condiciones iníciales y soluciones particulares

P. Hola profe! De veras que me he motivado bastante con este curso. Quise adelantar un poco y me encontré que es posible hallar una sola primitiva si se dan ciertas condiciones

Eso es cierto Paco. Hasta ahora hemos mencionado que la integral indefinida admite muchas soluciones (que difieren en una constante entre sí). Eso significa que las graficas de dos primitivas cualesquiera de f(x) son traslaciones verticales una de otra. (Observa la gráfica de una familia de primitivas en la sesión 1).

En muchas situaciones problema se nos da suficiente información como para determinar una solución particular. Un ejemplo sencillo es cuando conocemos un valor de F(x) para un valor de x. A esta información se le llama condición inicial.

Así, cada una de las primitivas de la forma;

para diversos valores de C, es una solución general de la ecuación

dy/dx = 3x² -1

Sin embargo, solo una de estas primitivas cumple con la condición de pasar por el punto (2,4), es decir F(2) = 4.

P. Ah! F(2) = 4 es una condición inicial. Pero para que me sirve?

Vamos por partes Paco.

Con esta condición inicial podemos hallar una sola primitiva como solución. Esta solución se conoce como “solución particular”. Veamos cómo,

En el ejemplo que estamos analizando tenemos esta información

F(x) = x³ - x + C solución general

F(2) = 4 condición inicial.

Usando la condición inicial en la solución general, determinamos que

F(2) = 8 – 2 + C = 4,

lo cual implica que C = -2. Por tanto, obtenemos

F(x) = x³ – x – 2 He ahí una solución particular

P. Excelente profe! En mi consulta sobre condiciones iníciales observé que éstas son muy aplicadas en problemas de movimiento rectilíneo y de caída libre. ¿Podría explicarme un ejemplo de este tipo?

Claro Paco y gracias por lo de excelente.

P. No me refería a usted sino a lo de las condiciones iníciales

Está bien Paco. Analiza el problema que se presenta en la siguiente escena interactiva de Descartes :

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

(Para una mejor interacción, puedes acceder al applet en esta dirección:

http://gnomon.itm.edu.co/calculo/objeto2/index.html)

Bueno Paco, ahora te toca a ti resolver estos ejercicios

Ejercicios 3

En los siguientes ejercicios hallar y = f(x). Se dan condiciones iníciales

a) f’’(x) = 2, f’(2) = 5, f(2) = 10

b) f’’(x) = x², f’(0) = 6, f(0) = 3

c) f’’(x) = x^-3/2, f’(4) = 2, f(0) = 0

d) f’’(x) = x^-3/2, f’(1) = 2, f(9) = -4

2. El ritmo de crecimiento de una población (dP/dt) de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t el tiempo en días. En forma simbólica dP/dt = k Öt.

El tamaño inicial de la población es 400. Tras un día ha crecido hasta 500. Estimar la población en una semana.

3. Se lanza una bola verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 60 pies/s. ¿Qué altura alcanza? g = -32 pies/s² (Rta. 56,25 pies)

4. Demostrar que la altura alcanzada por un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde una altura de s­₀ pies, con velocidad inicial v₀ pies/s², viene dada por la función (g = -9,8 m/s²)

f(t) = -4,9t² + v₀t + s­₀

5. ¿Con qué velocidad inicial ha de lanzarse un objeto hacia arriba, desde el suelo, para que alcance la azotea de un edificio que tiene una altura de 550 pies? (Rta. 187,617 pies/s)

6. Un jugador del equipo de fútbol del ITM, patea un balón hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Calcular la máxima altura que alcanza el balón (Rta. 20,41 m)

7. Una partícula, inicialmente en reposo, se mueve por el eje x de manera tal que su aceleración en t > 0 es a(t) = cos t. En el instante t = 0 su posición es x = 3.

Calcular su velocidad y su función posición

8. Un globo que asciende con velocidad de 16 pies/s suelta un saco de arena desde una altura de 64 pies sobre el nivel del suelo.

a) ¿Cuántos segundos tardará en chocar con el suelo?

b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?

Rta. a) 2,562 s b) -65,970 pies/s

9. En el momento que el semáforo se pone en verde, un automóvil inicia la marcha con aceleración constante de 2 m/s. En ese mismo momento un camión que lleva velocidad constante de 20 m/s² le adelanta.

a) ¿A qué distancia alcanzará más adelante el automóvil al camión?

b) ¿A qué velocidad irá en ese instante?

Rta: a) 400 m, b) 40 m/s